20-letni przyjmujący swoją przygodę z siatkówką rozpoczął w zespole MUKS Huragan Wołomin, w której występował w latach 2009-2014. Przez kolejne lata Bartosz Firszt związany był z KS Metro Warszawa, z którym w 2018 roku sięgnął po srebrny medal Mistrzostw Polski Juniorów. Podczas tego turnieju otrzymał również prestiżową nagrodę indywidualną i został wybrany najlepszym przyjmującym zawodów i został objęty programem Red Bull "Siatkarskie Skrzydła".

W latach 2016 -2018 przyjmujący został uczniem w Szkole Mistrzostwa Sportowego w Spale, gdzie został również kapitanem reprezentacji Polski Juniorów. W narodowych barwach Bartosz wystąpił między innymi podczas lipcowych Mistrzostw Europy U-20 w Belgii i Holandii, gdzie biało-czerwoni zajęli szóste miejsce.

W 2018 roku Bartosz Firszt podpisał kontrakt z zespołem Stoczni Szczecin. 20-letni zawodnik nie zadebiutował jednak w rozgrywkach PlusLigi, ponieważ został wypożyczony do I-szo ligowego zespołu BBTS-u Bielsko-Biała, gdzie uznany został najlepszym przyjmującym rundy zasadniczej. Warto dodać, że Bartosz Firszt podczas pobytu w Szczecinie, poleciał do Włoch na staż do Cucine Lube Civitanova.

Z drużyną BBTS-u Bielska-Biała, Bartosz Firszt w sezonie 2018/2019 zajął 5. miejsce w rozgrywkach I ligi. Bartosz dla drużyny z Bielska-Białej rozegrał łącznie 27. spotkań zdobywając w całych rozgrywkach 199. punktów. Bartosz Firszt urodził się 19 marca 1999 roku w Warszawie i ma 198 cm wzrostu.